MPCK视角下的“一次函数与一次不等式”

作者：李渺
　　
　　自20世纪80年代初起，研究者们从不同的角度提出了教师需要什么样知识的各种模型．其中，最有影响的是美国学者Shulman，L．s．(1986)和其同事们的观点．他们针对当时美国教师教育中的培养模式、教师资格认定和教师教育研究中所存在的学科知识与教育学知识分离的现象(Shulman称这些现象为“缺失的范式”)，经过一系列的研究后，提出“Pedagogical(~ontentKnowledge，简称．PCK”这一概念，指出成功的教学不仅需要学科知识，而且需要PCK，即成功的教师不能仅仅对某一概念、原则或原理有直觉的或个人的理解．为了促进学生的理解，他们必须自己先理解向学生表征概念的方法，他们必须要有如何把内容转化以适合教学目的的知识．根据Shulman的观点，PCK是一种实用性知识，它的核心要素有：第一是直面学生教学如何架构(structure)和呈现学科内容的知识；第二是有关学生在学习具体的内容时可能拥有的共同的概念、误解(misconception)和困难的知识；第三是在具体教学情况下能满足学生学习需求的具体教学策略等．下面以Shulman提出PCK的三种核心要素为框架，来分析“一次函数与一次不等式”的有关教学，并以此说明数学教师所应具备的MPCK．
　　
　　一、MPCK的核心要素之一——直面学生教学如何架构和呈现学科内容的知识
　　
　　课堂教学第一部分：提出问题，创设情境
　　
　　(1)N教师的教学设计
　　
　　解答下列问题：
　　
　　①解不等式：2x－4>0．
　　
　　②当自变量x为何值时，函数y=2x－4的值大于0？
　　
　　③画出函数y=2x－4的图象，并指出函数图象在x轴上方时，相应自变量z的取值范围．
　　
　　(2)x教师的教学设计
　　
　　解答下列问题：
　　
　　①解不等式5x+6>3x+l0．
　　
　　②当自变量x为何值时，函数y=2x－4的值大于0？
　　
　　从表面上看，两位教师的教学设计并没有多大的区别，都是为了引导学生发现一元一次不等式与一次函数之间的关系．但是，相比而言，N教师提出的3个问题更加具有坡度，更能让学生尽快进入学习主题．
　　
　　首先，从形式上看，两位教师都是想引导学生分别从不等式的角度和函数的角度来看“2x－4>0”．但是，不等式5x+6>3x+10需要转化才有2x－4>0的形式，这就给学生增加了非本质的障碍，冲淡了课题引入的核心．需要注意的是，这样的转化思想也是本次课所要体现的学习内容，教师可以在后面的教学设计中体现出来(详见下面“课堂教学第二部分”)．
　　
　　其次，N教师提出的第3个问题是x教师所没有涉及到的．这个问题使学生不仅从“数”的角度来发现不等式和函数之间的关系(问题1与问题2)：一元一次不等式ax+b>0(或ax+b<0)的解集，就是一次函数y=ax+b的函数值大于0(或小于0)时，相应自变量x的取值范围，而且从“形”的角度来发现不等式和函数之间的关系：一元一次不等式ax+b>0(或ax+b<0)的解集，就是一次函数y=ax+b的图象在x轴上方(或下方)时，相应自变量x的取值范围．因此，此问题的提出无疑可以使学生更好地理解有关数学关系课堂教学第二部分：新课——用函数的观点看不等式
　　
　　N教师和x教师都是选用“用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10”这个问题来作为新课学习的主要载体，此问题比较好地蕴藏着教师的教学意图．
　　
　　如果没有限制“用画函数图象的方法”，学生都能利用不等式的性质来给出以上不等式的解集．本次课的学习内容是用函数的观点看不等式，所以，两位教师都要求学生“用画函数图象的方法”来解不等式，主要有以下两种教学意图．
　　
　　(1)先利用转化的思想(前面的有关问题在此得到体现)，把不等式5x+4<2x+10转化为3x－6<0．然后，再把它看成当一次函数y=3x－6的图象在x轴的下方时，相应自变量x的取值范围．
　　
　　(2)把不等式5x+4<2x+10的两边分别看成两个一次函数y=5x+4和y=2x+10，然后画出它
　　
　　们的图象——两条直线，则把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低，从而找出相应自变量x的取值范围．
　　
　　所以，两位教师选用这道题目可较好地呈现有关学习内容．
　　
　　二、MPCK的核心要素之一——有关学生在学习具体的内容时可能拥有的共同的概念、误解和困难的知识
　　
　　学生已有的共同的概念：
　　
　　(1)函数、一次函数和不等式的概念；
　　
　　(2)利用不等式的性质来解不等式；
　　
　　(3)一次函数与一元一次方程的关系．
　　
　　在这节课的学习中，学生普遍对以下几个地方感到困惑：
　　
　　学习难点1如何看待问题1与问题2(课堂教学第一部分，N教师的教学设计)之间的联系?即从“数”的角度来看不等式和函数之间的关系?
　　
　　对于第一个问题，学生利用不等式的性质都能很快得到其解集x>2；对于第二个问题，需要学生把问题中的文字语言翻译成符号语言，再来探究自变量x相应的取值范围．学生单独解答这两个问题，都不会感到困难．教师的教学意图也不在于此，而是意欲让学生发现彼此之间的关系：“求解不等式ax＋b>(<)0”可以看作“当一次函数y=ax+b的值大于(小于)0时，求自变量x相应的取值范围”，即用函数的观点来看不等式，引出本节课的学习目标．所以，两个学习任务分别完成后，教师还要特别注重引导学生用自己的话来表述二者的关系，并突出关键词“一元一次不等式”与“一次函数”．这样，才能让学生感受到“一元一次不等式”与“一次函数”之间的关系．
　　
　　学习难点2如何看待问题1与问题3(课堂教学第一部分，N教师的教学设计)之间的联系?即如何通过观察函数图象，从“形”的角度来看不等式和函数之间的关系?
　　
　　既然用函数的观点来研究问题，那么就离不开函数的图象．如前所述，N教师提出的第二个问题实际上是从“数”的角度来看不等式和函数之间的关系，而第三个问题是引导学生从“形”的方面来看不等式和函数之间的关系，即继续思考第二个问题——“函数y=2x－4的值大于0”反映到函数的图象上是什么?(是对应“在x轴上方的那一部分直线”．于是，问题的难点就是如何通过观察函数的图象，发现相应自变量x的取值范围．
　　
　　N教师通过多媒体，使“在x轴上方的那一部分直线”不断闪烁，使学生的注意力集中到“在z轴上方的那一部分直线”，引起了学生的注意．但是，问题的所在是要找出“相应自变量x的取值范围”，
从“在x轴上方的那一部分直线”到“相应自变量x的取值范围”之间还需要建立联系的桥梁．这个桥梁就需要深刻理解函数的概念，一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x的每一个确定的值，)，都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
　　
　　所以，在教学中，第一步，在“x轴上方的那一部分直线”上任意取一个点，此点相应的y值大于0，满足题设要求．第二步，画出此点到x轴的垂线，其垂足的横坐标就是它对应的x．这时，学生容易猜想或观察到这样所取的x都大于2．第三步，检验x是否可以等于2．如果x等于2，那么对应函数值就等于0，与所要求的不相符合，所以，x不可能等于2．事实上，此问题是学生上次课所讨论的“一次函数与一元一次方程”的关系(这也把前后知识联系起来了)．第四步，检验x是否可能小于2．因为如果x小于2，直线上对应的点在x轴的下方，也就是说，对应函数值小于0，与所要求的不相符合，所以，x不可能小于2．这样，学生才比较清楚地知道如何观察函数的图象，从“形”的方面来研究“当函数y=2x－4的值大于0时，自变量x的取值范围”．换言之，通过观察函数图象可以探究对应不等式的解集．
　　
　　学习难点3用函数的观点来看不等式有什么优越性?
　　
　　在“课堂教学第二部分：新课”的学习中，有许多学生对教师所提出的问题不太理解：形如5x+
　　
　　4<2x+10这样的题目，利用不等式的性质来求解，很好解决，为什么还要用画函数图象的方法来考虑?这样的思考方式有什么好处?
　　
　　教材上有这么一段话：“虽然像上面那样用一次函数图象来解方程或不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程与不等式的解，这种用函数观点认识事物的方法，对于今后继续学习数学很重要．”以上学生的学习疑惑可以从这段话中找到宏观层面上的答案．但是，要想学生进一步明了“用函数的观点看不等式”的价值，还需要教师的MPCK，需要教师在学生解答完有关问题后从微观层面上做如下阐释．
　　
　　(1)数学知识之间的联系．可向学生提问：“同学们，你们已经学习了一次函数、一元一次方程与一元一次不等式，但是，你们是否想到它们之间的联系?”并进一步指出：方程、不等式是描述现实世界的一种工具，它们实际上都可以用函数的观点来统领．只有建立了数学联系的观点，才能有数学的整体观念，才能灵活运用数学知识，才能发现问题、提出问题和解决问题，才能提高数学能力，才能有好的数学素养．
　　
　　(2)直观的思维方式．“直观”是数学中重要的思维方式之一．教师可以给出以下题目来让学生进一步体会直观的思维方式在解决问题中的优势．
　　
　　例1根据下列一次函数的图象(图1)，你能求出哪些不等式解集?并直接写出相应不等式的解集．
　　
　　 图1 图2
　　
　　例2某单位急需用车，但又不准备买车．他们准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，个体车主收费y元，国营出租车公司收费为y元，)，y与x之间的函数关系如图3所示．
　　
　　图3
　　
　　①观察下列图象并选择合算的租车对象．
　　
　　②如果这个单位估计每月行驶路程为2’700km，应如何选择租车对象才能更合算?
　　
　　③从“一次函数与一元一次不等式”延伸到“函数与不等式”．到目前为止，对于“函数”，学生
　　
　　还只接触到“一次函数”；对于“不等式”，学生还只接触到“一元一次不等式”．在今后的学习中，学生还会遇到许多其他类型的函数与不等式．比如，二次函数、一元二次不等式．如果学生具有用函数的观点来认识事物的观念和方法，那么会有更好的数学理解．对于基础好的学生，可以给出几道拓展题目，比如：图4是函数)y=x2-x-2的图象，则不等式x2－x－2>0的解集是什么?这些问题的探讨为学生的后续学习打下基础．
　　
　　图4
　　
　　三、MPCK的核心要素之一——在具体教学情况下能满足学生学习需求的具体教学策略
　　
　　(1)当学生获得成功时，教师要给时间让学生充分“倾诉”
　　
　　在学习中，通过自主探究、小组合作，学生获得了成功．此时，学生心中充满了成功的喜悦，急切地想与大家分享．所以，教师要给时间、给机会让学生“倾诉”，这也是学生小结、反思的一个过程．同时，通过这个过程，学生的表达能力、数学语言的组织能力得到了很好的锻炼，自信心也得到了很好的培养．
　　
　　比如，在探究“用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10”时，大多数学生采用的是第一种解
　　
　　法：先利用转化的思想，把不等式5x+4<2x+10转化为3x-6<0．然后，再把它看成当一次函数y=3x－6的图象在x轴的下方时，相应自变量x的取值范围．N教师在巡视学生思考情况时，发现有同学用第二种方法来解决问题：把不等式的左右两边分别看成一次函数，然后，把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低，从而找出相应自变量x的取值范围．这时，N教师自己没有讲解第二种方法，而是把话语权交给了学生，让学生来解释自己的想法．
　　
　　(2)当学生出现错误时，教师要有针对性地进行纠错
　　
　　在第一种解法解不等式5x+4<2x+10时，N教师发现有些学生认为y=3x一6在x轴的下方，
　　
　　所对应自变量x的取值范围是大于2．显然，这是由于学生不会观察所对应的图象、机械照搬而导
　　
　　致的错误结果．如何纠正学生的错误呢?让学生自己发现自己的错误是最好的教学策略．N教师
　　
　　在x>2的范围内任取一个点，画出直线上所对应的点，显然，这个点在x轴的上方，表示其函数值
　　
　　大于0．此时无声胜有声．学生自然就明白自己的错误了．
　　
　　参考文献：
　　
　　[1]s}mlman，Ls．Knowledgeand1'eaching：Found~ions0ftheNewReform[J]．HarvardEducationalReview，1987：57．
　　
　　[2]Shulman，Ls．Those’Whoundenjtand：KnowledgGrowthinTeaching[J]．EducationalResearch，1986，15(2)．