当三角形被一条直线所截

今天介绍的，是一个平面几何里著名的定理及其逆定理，他涉及到的知识点，是简单的相似关系，却是和三点共线相连。用数学语言来说就是：设△ABC三边BC、CA、AB被同一直线截于a，b，c，则三边上所形成的线段间有关系：

如下图所示，为了证明这个定理，我们过三角形三顶点朝同一方向做三条直线，直至与该直线相交：

设α，β，γ是顶点到截线的长度，根据相似三角形原理我们有：

于是定理得证。如果你记不清到底是谁比谁的话，那你就理解成，一直线与三角形三边直线相交，考虑交点到相应边顶点的距离之比，其乘积为1.
我们现在来看这个定理的一种特殊情况：当直线与BC平行的时候。这时，由于直线与BC没有交点，所以此时aB/aC可以看做1.从而定理就变成bC/bA×cA/cB=1，这也是成立的，因为这就变成简单的相似原理了。
我们要知道的是，这个定理的逆定理也是成立的。
逆定理(梅涅劳斯定理)：设在△ABC的边BC，CA，AB上取三点a，b，c，满足关系：

那么这三点在同一直线上。
证明这个定理很简单：直线ab截边AB于点c‘，利用原定理得出关于a，b，c的一个式子，与逆定理相比较即可证明c点和c’点重合，从而逆定理得证。正如他本身所述，可以用之来证明三点共线，一个比较漂亮的运用，就是证明“圆内接六边形三双对边的交点共线”。
例：证明圆内接六边形三双对边的交点共线

证明：如图所示，我们考察三角形IJK，L、M、N分别是三角形IJK三边上的三点，要想证明L、M、N三点共线，根据梅涅劳斯定理，只需要证明下面的式子成立即可：

从另一个角度来讲，除去△IJK所在的六边形的三条边，其余的三条边DE、BC、FA也与△IJK相截，根据定理得到一系列关系式：

将上述三条左右相乘并化简得：

而根据圆幂定理，上式的最后三个分数的值都为1，比如EK·FK=AK·BK等，于是就得出式子②，从而证明定理。有一点和上面一样，也要考虑，那就是当六边形的一组对边没有交点的时候(也就是平行)应该怎么办？大家可以通过前面分析当直线与BC平行的时候的方法，来思考这一问题，可以发现这一定理是依然成立的。
文章来源：学夫子数学博客