Riemann 猜想漫谈 (十七)

1 2 下一页 作者：卢昌海
　　
　　三十.来信
　　
　　在前面各节中，我们介绍了数学家们在证明Riemann猜想的漫长征途上所做过的多方面的尝试。这些尝试有些是数值计算，它们虽然永远也不可能证明Riemann猜想，却有可能通过发现反例而否证Riemann猜想——当然，迄今为止并未有人发现反例；有些则是解析研究，它们具有证明Riemann猜想的潜力，但迄今为止距离目标还很遥远。如果小结一下的话，那么这两类尝试虽然很不相同，却都可以被归为直接手段，因为它们的目标都是Riemann猜想本身。
　　
　　既然这两类直接手段都遇到了困难，那我们不妨来问这样一个问题：除这些直接手段外，还有没有别的手段可以帮我们研究Riemann猜想，或至少带给我们一些启示呢？
　　
　　答案是肯定的。
　　
　　事实上，Riemann猜想虽然是一个极为艰深的难题，但这种长时间无法解决的难题在科学上是并不鲜见的。科学家们对付这种难题的大思路其实很简单，那就是直接手段行不通时，就采用间接手段。当然，大思路虽然简单，具体采取什么样的间接手段，可就大有讲究了。一般来说，常用的间接手段有两类：第一类是研究与原问题相等价的问题——那样的问题一旦被解决，原问题自然也就解决了[注一]；第二类则是研究与原问题相类似、但却更简单的问题——这类手段虽不能解决原问题，却有可能带给我们启示。更重要的是，在原问题实在太艰深时，这类手段往往比其它手段更具可行性。
　　
　　就目前我们对Riemann猜想的了解而言，它看来是属于那种“原问题实在太艰深”的情形，因此我们要介绍的间接手段是“往往比其它手段更具可行性”的第二类间接手段。这类手段在科学研究中有着广泛的应用。比如物理学家们遇到很困难的三维空间中的问题时，往往转而研究二维、一维，甚至零维空间中与原问题相类似的问题。又比如生物学家们从事一些不宜在人体上作尝试的研究时，往往转而用动物作为研究对象。最近比较热门的用凝聚态体系模拟基础问题的做法，也是第二类间接手段的例子[注二]。这类手段通俗地讲，其实就是研究“山寨版”的问题。只不过与经济领域中的“山寨版”产品被四处喊打不同，科学领域中的“山寨版”问题不仅不违规，对它们的研究还广受鼓励。有时候，在“山寨版”问题上的突破，甚至能成为重大的科学成就，并获得重大的科学奖项。Riemann猜想就是一个很好的例子，它的艰深与重要，使得“山寨版”的Riemann猜想也“鸡犬升天”，变成了非同小可的问题，研究或解决它的数学家甚至可以获得数学界的最高奖，堪称是史上最牛的“山寨版”[注三]。
　　
　　为了介绍这种史上最牛的“山寨版”，让我们把时光暂时拉回到1940年。
　　
　　1940年4月，著名的法国几何学家ÉlieCartan(1869-1951)收到了一封奇怪的信件，它的寄信人地址是位于法国海滨城市Rouen的一座军事。
　　
　　一位著名数学家居然收到一封来自的信件，那会是什么样的信件呢？照常理来说，最大的可能性是某位民间“科学家”(简称民科)的杰作，对于法国数学家来说，情况尤其如此。因为在这方面，法国科学院(FrenchAcademyofSciences)可谓是开了风气之先——自从一个多世纪前它为Fermat大定理悬赏以来，民科信件便如雪片般地飞向了法国数学家的手里。那热情，就连一百多年的时光也不足以使之熄灭。自那以后，知名法国数学家收到民科来信就不再是新鲜事了。不过Cartan收到的这封信件却有些不同，它的寄信人地址虽然很“民间”，笔迹却颇为熟悉，因为那笔迹属于一位真正的数学家。那数学家不仅Cartan认识，更是他那数学家儿子HenriCartan(1904-2008)的好朋友。那位数学家叫做AndréWeil(1906-1998)，他一生的许多重要工作虽然还有待于此刻拿在Cartan手里的这封来信来揭开序幕，但当时的他就已在代数、分析、数论等诸多领域中享有了一定的声誉。五年前，他还与几位志同道合的年轻数学家(其中包括HenriCartan)一同，创立了一个后来大名鼎鼎的数学学派——Bourbaki学派。
　　
　　Cartan对笔迹的细心留意使那封来信免遭了被弃之垃圾桶的命运，也为我们的Riemann猜想之旅增添了一段新的故事。
　　
　　三十一.与死神赛跑的数学家
　　
　　身为数学家的Weil怎么会跑到里去的呢？这还得从他早年的一些经历说起。
　　
　　Weil是一位早熟的数学家，自九岁开始就在一份中学数学刊物上展露头角，对数学的喜爱可以说是达到了着迷的程度。据说有一次Weil不小心摔了一跤，他那后来成为哲学家的妹妹所想到的安慰办法，居然是立刻去把他的数学书找来。十六岁时，Weil进了一所名为ÉcoleNormaleSupérieure的学校，这个校名翻译成中文是一个很土的名字，叫做“高等师范学校”。但莫看名字不起眼，它实际上却是一所为法国先后培养过十二位Nobel奖得主及十位Fields奖得主的一流学府。在那里，Weil参加了曾经证明过素数定理(参阅第七节)的著名数学家Hadamard的讨论班，并开始研读包括Riemann在内的一些数学大师的著作。此外，他还结交了精研印度及东方文化的教授SylvainLévi(1863-1935)。受后者影响，Weil一生都对印度文化怀有浓厚兴趣。自十九岁起，Weil开始在欧洲各地游历，每到一处都结交了不少朋友。1930-1932年间，他到自己神往已久的印度生活了两年多，亲自接触了这个古老国度的古老文化。1935年，他还访问了苏联，结识了一些苏联数学家。
　　 1 2 下一页