数学不可思议力量举例——纠结的纽结

数学在物理学中的作用表现在“主动”和“被动”两个方面。主动的一面是指当科学家解释物理现象出现问题时，数学会照亮其前进的道路，比如牛顿为解释万有引力而创建微积分。被动型的一面则更加不可思议：本来数学理论的研究只是基于单纯的其他原因，从没考虑过其实际应用，只是在过了若干年后才猛然发现，这些理论竟可以解释物理现实——《数学沉思录》
　　
　　关于数学的被动型，是最为让人称奇的，我在《数学力量的疑问》一文中已经已经解释并且举例说明过。要说举例来说明数学的被动作用，纽结理论再好不过，因为纽结理论既有主动的一面又有被动的一面，简直让人荡气回肠，回味无穷。虽然关于纽结理论本身是那么地高深。
　　
　　纽结理论的历史并不长，与微积分差不多年纪，不过关于“纽结”一词的历史，那却是很久以前的事情，甚至在神话故事就已有知，那就是著名的戈尔迪亚斯结。在弗吉利亚人中一直流传一条神谕，乘着一辆牛车进入弗吉利亚的第一个人将是他们的下一任王，恰好农民戈尔迪亚斯驾着一辆牛车进入了都城，因此他成为了国王。出于感恩，戈尔迪亚斯将他的牛车敬献给上帝，并挽了一个极其复杂的结，把这辆牛车系在了一根柱子上。之后不久，不知为何又有一条神谕在弗吉利亚流传，说打开这个结的人将成为亚细亚王。最终打开这个结的人是亚历山大大帝，后来也的确成为了亚细亚的主宰者，只不过他是用他的剑将结斩成了两段……
　　
　　真正从数学理论研究纽结的人是范德蒙德，往后就是高斯以及19世纪的其他数学家。不过真正激发纽结理论研究狂潮的，是汤姆逊试图解释物质基本结构，因为根据他的推测，原子是打结的以太习惯，而当时认为以太是充满整个宇宙的，所以如果汤姆逊的理论成立的话，那么通过纽结的多样性就可以解释化学元素的多样化了。要知道纽结的稳定性和多样性可是原子模型的本质和核心因素。对纽结理论的研究正是在这样一个美好憧憬下进入狂热。
　　
　　但没过多久，汤姆逊的原子论被确认是一种错误，被科学家扔进科学的垃圾篓。然而从中发展起来的纽结理论却没有消失，相反，人们对它的兴趣有增无减，很显然此时对纽结的研究已经没有任何实用目的，人们研究它仅仅是因为好奇而已，在很长一段时间里，对纽结理论的研究重心集中在“寻找能描述不同结的变量”里。
　　
　　一直到20世纪60年代，美国的康威发现一种逐步“解开”纽结的办法，下图展示了这一过程（图片直接选自《数学沉思录》一书）：
　　
　　看起来很像亚历山大的快刀斩乱麻，不过康威可是从数学上将这个过程弄成一种运算。在1984年，美国的琼斯从冯·诺依曼代数中获得灵感，建立起了描述不同纽结的特征多项式，纽结理论的研究进入高潮，并且人们发现琼斯的理论不仅可用于纽结理论，统计力学、量子群论等都能用，全世界的科学家都为之振奋，至此以后，用于描述纽结理论的许多不变量如雨后春笋般建立起来，最近的不变量是由法国的一位数学家发现，他因此获得1998年的菲尔兹奖。
　　
　　不过纽结理论的发展过程还不算惊讶，就算是经过多年发展，数学家们也只是将其当做爱好来研究，没有想过它还有什么实用价值，因为他唯一的现实来源——汤姆逊的原子结构——早已被确定是错误。但是极富戏剧性的是，数学家们也绝对没有想到，纽结理论在许多学科中都出现了。
　　
　　第一个要说的，就是对DNA的研究。DNA是认识生命本身的关键。我们从中学生物就已经知道，细胞分裂的过程分为复制和转录两个过程，然而DNA是非常紧密的缠绕在一起的，这是为了压缩信息存储空间，因而除非对其进行拆解，否则复制过程无法进行，并且后代一定不能打结。解开这种纽结的活性因子是一种生物酶，酶让DNA链暂时断开，让一条链穿过另一条链，并且让不同的终端重新连接起来，这个过程太熟悉了！这恰好就是康威为了解开纽结所使用的方法。康威怎么也没有想到，他其实已经在重复着人体最伟大的生命过程！
　　
　　当然分子生物学不是纽结理论应用的唯一领域。人们一直在追求大统一理论，目前为止唯有弦论最有可能完成这一目标。弦论的基本思想是，它认为基本的亚原子微粒并不是没有结构的点状实体，而是代表着“类似于琴弦的结构”在振动时的不同样式，宇宙中充满了微小的，脆弱的像橡皮筋一样的环，当它们以不同频率振动时，便展示出不同的物质微粒。换句话说，我们的世界就是一首交响乐。由于弦的这种闭合结构其实就是纽结，纽结理论经过多年的发展，不可思议地参与了大统一理论的谱写。
　　
　　从最开始为了研究最初的原子结构而开始研究纽结理论，这是数学主动性的一面；当原子结构被抛弃，纽结理论继续发展，这是数学自由的一面：数学可以解释万物，但数学可以脱离物理现实而存在；经过多年发展，纽结理论不可思议地再一次应用于认识生命本身的理论，甚至参与大统一理论的谱写，这又是数学被动性的一面。如此翻来覆去，当真是荡气回肠，令人回味。
　　
　　当然数学那不可思议的力量，纽结理论知识其中一个代表。其他的诸如在两千年前，古希腊人为了解决一种现在不可能成立的“几何三作图”问题而研究了圆锥曲线，而两千年以后开普勒却证明行星轨道就是椭圆，几千年前的理论奇迹般地用上；牛顿的万有引力定律，其实际有用的数据只占其所有拥有数据的4%，但他的理论却是如此精确，还有爱因斯坦理论的预测，理论的预测，都慢慢得到检验。这些成果向我们展示了数学力量的不可思议，那么是时候回答我们一开始提出的两个问题了：“为什么数学在解释周围世界时如此有效？”以及“数学到底是一种发现还是一种发明？”，这便是我们下一篇文章的内容，也是《数学沉思录》这本书的最后一部分内容。（来源：学夫子数学博客）