猜想归纳法推导数列通项公式的攻略

作者：学夫子
　　
　　数列一向是高中的重点内容，求数列通项公式是其中的一大块，我曾经在《求数列通项公式》一文里详细总结过利用递推公式求通项公式的方法。不过其中没有提到猜想归纳法，本文就对这种方法的大体步骤总结于下，希望对大家有所帮助。
　　
　　1：如果数列的项很简单，比如纯粹的整数数列
　　
　　这种类型的题目，一来靠平时多积累，熟练常见题型的解决办法。二来，学会观察所给数列是否为常见的等差等比，若是，就采用等差等比求通项的方法求解。在你不熟悉的情况下，最好熟练用求通项公式的公式去求，而不要一味地凑，这有两个好处，一来熟悉了各种公式，二来也锻炼自己的严谨思维，不会出错。比如：
　　
　　6，9，12，15，……
　　
　　这是一个等差数列，首项为6，公差为3，故通项公式为an=6+3（n-1）=3n+3。很多人习惯去凑，这是不好的习惯，最容易犯错的地方就是项数给搞错。
　　
　　如果数列的项与项数的关系不明显，可以先写出后一项与前一项（或者前几项）的关系，然后运用递推公式求数列通项公式的方法求通项公式。比如：
　　
　　3，6，10，15，21，28，……
　　
　　这个时候的项与项数的关系就不那么明显。遇到这种情况，可以先考察相邻项的关系，可以通过观察相邻两项和差积商的变化规律，隔项的变化规律等得到该数列的递推关系，比如上面的题目中可以观察到：
　　
　　an-an-1=n+1，a1=3
　　
　　从而你就可以运用递推关系求数列的方法求通项公式，在这里是采用累加法。
　　
　　另外值得提起的就是关于N级等差数列的概念。N级等差数列的通项公式是一个N次多项式。这样就可以采用待定系数法解决。
　　
　　2：如果数列的项比较复杂
　　
　　若数列的项比较复杂，这个时候可以将项分解成几个部分，比如符号，分子，分母，指数，真数，底数等等，然后观察每一部分与项数的关系。期间可能没那么容易划分，需要自己的眼睛去发现
　　
　　比如，求出下列数列的一个通项公式
　　
　　将数列的项分成三大部分——符号，分子和分母。符号是正负相间的，我们用（-1）n或者（-1）n+1来调节，至于到底用哪个，因题目而异。我们能看到其分母应该是成等比数列，所以我们将他们还原：
　　
　　这样分母是一个以2为首项，2为公比的等比数列，故分母可以记作：2n。同理分母是一个等差数列，其通项公式为2+3（n-1）=3n-1
　　
　　故整个数列的通项公式就为：
　　
　　要注意的是，这种题目不仅仅是在小题中出现，大题也会有。这时候我们猜想出的通项公式只是一个“合情猜想”，要验证合理正确，还要集合数学归纳法予以证明。（来源：学夫子数学博客）