奇妙的组合之口香糖问题

a．琼斯太太竭力想快点走过那个口香糖售货机，以免她的双胞胎看到。
　　
　　第一个孩子：妈，我想要口香糖。
　　
　　第二个孩子：妈，我也要，我要和比利一样的。
　　
　　b．口香糖售货机差不多空了，没法知道下一个糖球是什么颜色，琼斯太太要想得到两个同样的糖球，她必须准备花多少钱?
　　
　　c．琼斯太太可以花6便士买2个红球——其中4便士买所有的白球，另2便士买一对红球；或者花8便士买2个白球。所以她必须准备8便士，对吗?
　　
　　d．错了。如果头两个球颜色不一样，那么第三个球必与其一相配，所以3便士就足够了。
　　
　　e．现在假设机器中有6个红球，4个白球，5个蓝球，你能算出琼斯太太需花多少钱能买一对同样的球吗?
　　
　　f．如果史密斯太太带着她的三胞胎从同一个口香糖售货机旁过，你仔细想想，你认为4便士够吗?
　　
　　g．这次售货机中有6个红球，4个白球和一个蓝球，史密斯太太要花多少钱能买三个一样的球?
　　
　　需要多少钱?
　　
　　第二个口香糖问题是第一个口香糖问题的简单变化。可以用同样的思路来解决。在这个问题中，取头三个球可能是不同颜色——红色、白色和蓝色。这是没有达到预想结果的最长排列，第四个球一定与前三个球中的一个相同。所以只要买4个球必能得到相同的一对球，琼斯太太要准备4便士。
　　
　　总之，对于n组球，每组一种颜色，就应准备买n+1个球。第三个问题比较难，史密斯太太是三胞胎而不是双胞胎，口香糖售货机中有6个红球，4个白球和1个蓝球，她得花多少钱才能买到3个同样的球?
　　
　　同上，我们首先要考虑最坏的情况，史密斯太太买到2个红球，2个白球和唯一的蓝球，总共5个红球，第6个球肯定是红球或白球。所以要使三胞胎都得到同样颜色的球，答案是6便士。假如蓝球不只一个，她每种颜色先抽2个，那么第7个球就能满足三胞胎的要求。
　　
　　噢!关键在于最“坏”情形的长。有人可能想通过给这11个球标上字母来解决这个问题，然后检查所有可能排列，看看在出现三个同样球的排列中哪个是最长的。但是这种解决办法需列出ll!=3931680O种排列，即使同样颜色的球不用字母区分，也要列出2310种排列。
　　
　　总之，要抽取k个同色球的方法如下：有n组球（每组一个颜色，每组至少k个)，那么要得到k个同色球必须抽取n（k--1）+1个球。你肯定还想研究一组球或多组球的球数少于k的情形。
　　
　　这种问题的模式也能用于其它方面。例如，你要从52张牌中抽取7张同花色的牌，你要抽几次?这里n=4，k=7，公式给出的答案是：4(7--1)+1=25。尽管这是些简单的组合问题，但引出了有趣而复杂的概率问题。比如．你从n张牌中抽取7张牌(n从7到24)，每次抽取后不再放回(显然，假如抽的张数小于7概率为0，如抽取25张以上概率为1)，同花色的概率是多少?如果抽取的牌再放回经冼脾后再抽概率又是多少?一个更难的问题是：无论牌是否放回，获得同花色牌的期望值(概率的平均值)是多大呢?